Question

8．已知点A（1，-1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为4，则ab-a-b=（　　）

• A． -1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．利用向量的夹角公式可得cos∠CAB=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{AB}|}$，利用四边形EFGH的面积S=（a-1）$\sqrt{10}$×（b-1）×$\sqrt{10}$×$\frac{4}{5}$=4，求出ab-a-b的值即可．

解答 解：如图所示：
，
延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．
∵$\overrightarrow{AB}$=（3，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，3），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2），
∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{2}$，
∴cos∠CAB=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{6}{\sqrt{10}•\sqrt{10}}$=$\frac{3}{5}$，sin∠CAB=$\frac{4}{5}$，
∴四边形EFGH的面积S=（a-1）$\sqrt{10}$×（b-1）×$\sqrt{10}$×$\frac{4}{5}$=4，
∴（a-1）（b-1）=$\frac{1}{2}$，即ab-a-b=-$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查了向量的夹角公式、数量积运算性质、平行四边形的面积计算公式、基本不等式 的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力．