Question

18．函数f（x）=Asin²（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$），已知y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴的距离为2，并过点（1，2）．
（1）求φ；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+（2015）的值．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）的最大值为2，求出A，根据相邻两对称轴的距离为2，求出ω，代入点求出φ即可；（2）求出f（x）的表达式，根据函数值的规律，得到答案．

解答 解：（1）∵y=f（x）=Asin²（ωx+φ）=$\frac{A}{2}$-$\frac{A}{2}$cos（2ωx+2φ），
∵y=f（x）的最大值为2且A＞0，$\frac{A}{2}$+$\frac{A}{2}$+2，A=2，
又∵其图象相邻两对称轴的距离为2，?＞0，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{2π}{2ω}$）=2，ω=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=1-cos（$\frac{π}{2}$x+2φ）；
又∵f（x）过点（1，2），cos（$\frac{π}{2}$+2φ）=-1，$\frac{π}{2}$+2φ=2kπ+π，k∈z，
φ=kπ+$\frac{π}{4}$，（k∈z），
又∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$；
（2）∵φ=$\frac{π}{4}$，∴y=1-cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{2}$）=1+sin$\frac{π}{2}$x，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+（2015）=503×4+2+1=2015．

点评 本题考查了求三角函数的表达式，考查三角函数的性质以及函数求值问题，是一道中档题．