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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    在△ABC中，点G为中线AD上一点，且AG=
    12
    AD过点G的直线分别交AB，AC于点E，F，若AE=mAB，AF=nAC，则m+3n的最小值为
     
    ．
    分析：如图所示，利用向量的运算法则可得
    MG
    =
    AG
    -
    AM
    =(
    1
    4
    -m)
    AB
    +
    1
    4
    AC
    ．
    NG
    =
    AG
    -
    AN
    =
    1
    4
    AB
    +(
    1
    4
    -n)
    AC
    ．再利用向量共线定理可得，存在实数t使得
    MG
    =t
    NG
    ，利用向量相等即可得出：
    1
    m
    +
    1
    n
    =4    ．再利用基本不等式即可得出m+3n的最小值．
    解答：解：如图所示，精英家教网
    MG
    =
    AG
    -
    AM
    =
    1
    2
    AD
    -m
    AB
    =
    1
    2
    ×
    1
    2
    (
    AB
    +
    AC
    )-m
    AB
    =(
    1
    4
    -m)
    AB
    +
    1
    4
    AC
    ．
    NG
    =
    AG
    -
    AN
    =
    1
    2
    AD
    -n
    AC
    =
    1
    2
    ×
    1
    2
    (
    AB
    +
    AC
    )-n
    AC
    =
    1
    4
    AB
    +(
    1
    4
    -n)
    AC
    ．
    ∵
    MG
    与
    NG
    共线，∴存在实数t，使得
    MG
    =t
    NG
    ，
    ∴(
    1
    4
    -m)
    AB
    +
    1
    4
    AC
    =t[
    1
    4
    AB
    +(
    1
    4
    -n)
    AC
    ]    ，
    ∴
    1
    4
    -m=
    1
    4
    t    ，
    1
    4
    =t(
    1
    4
    -n)    ，
    消去t可得：
    1
    m
    +
    1
    n
    =4    ．
    ∵m＞0，n＞0，
    ∴m+3n=
    1
    4
    (
    1
    m
    +
    1
    n
    )(m+3n)    =
    1
    4
    (4+
    m
    n
    +
    3n
    m
    )    ≥
    1
    4
    (4+2
    m
    n
    •
    3n
    m
    )    =2+
    		3
    2
    ，
    当且仅当m=
    		3
    n    =
    		3
    +1
    4
    时取等号．
    因此m+3n的最小值为
    		3
    2
    +1．
    故答案为：
    		3
    2
    +1．
    点评：本题综合考查了向量的运算法则、向量共线定理、向量相等、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    选考题
    请从下列三道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卷上注明题号．
    22-1设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|
    （1）解不等式f（x）≤5x+1；
    （2）若g(x)=
    1
    		f(x)+m
    定义域为R，求实数m的取值范围．
    22-2如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ACD的外接圆交BC于E，AB=2AC，
    （1）求证：BE=2AD；
    （2）当AC=1，BC=2时，求AD的长．
    22-3已知P为半圆C：
    x=cosθ
    y=sinθ
    (θ为参数，0≤θ≤π)    上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与半圆C上的弧AP的长度均为
    π
    3

    （1）求以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
    （2）求直线AM的参数方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，点B（0，1），直线AD：2x-y-4=0是角A的平分线．直线CE：x-2y-6=0是AB边的中线．
    （1）求边AC的直线方程；
    （2）圆M：x2+（y+1）2=r2（1≤r≤3），自点C向圆M引切线CF，CG，切点为F、G．求：
    CF
    •
    CG
    的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：江苏期中题 题型：解答题

    在△ABC中，点B（0，1），直线AD：2x﹣y﹣4=0是角A的平分线．直线CE：x﹣2y﹣6=0是AB边的中线．
    （1）求边AC的直线方程；
    （2）圆M：x2+（y+1）2=r2（1≤r≤3），自点C向圆M引切线CF，CG，切点为F、G．求：的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年江苏省南京27中高三（上）学情分析数学试卷（08）（解析版） 题型：解答题

    在△ABC中，点B（0，1），直线AD：2x-y-4=0是角A的平分线．直线CE：x-2y-6=0是AB边的中线．
    （1）求边AC的直线方程；
    （2）圆M：x2+（y+1）2=r2（1≤r≤3），自点C向圆M引切线CF，CG，切点为F、G．求：的取值范围．

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