Question

9．已知圆M与圆N：（x-$\frac{5}{3}$）²+（y+$\frac{5}{3}$）²=r²关于直线y=x对称，且点D（-$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{3}$）在圆M上
（1）判断圆M与圆N的位置关系
（2）设P为圆M上任意一点，A（-1，$\frac{5}{3}$）．B（1，$\frac{5}{3}$），$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PB}$不共线，PG为∠APB的平分线，且交AB于G，求证△PBG与△APG的面积之比为定值．

Answer 1

分析 （1）先求得点N关于直线y=x对称点M的坐标，可得圆M的方程，再根据圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆相离．
（2）设∠PAB=2α，则∠APG=∠BPG=α，可得 $\frac{{S}_{△PBG}}{{S}_{△APG}}$=$\frac{\frac{1}{2}•PB•PG•sin∠BPG}{\frac{1}{2}•PA•PG•sin∠APG}$=$\frac{PB}{PG}$．设点P（x，y），求得PA²和 PB²的值，可得$\frac{PB}{PA}$的值，即为△PBG与△APG的面积之比．

解答 解：（1）由于点N（$\frac{5}{3}$，-$\frac{5}{3}$）关于直线y=x对称点M（-$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{3}$），
故圆M的方程为：（x+$\frac{5}{3}$）²+（y-$\frac{5}{3}$）²=r²．
把点D（-$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{3}$）在圆M上，可得r²=$\frac{16}{9}$，故圆M的方程为：（x+$\frac{5}{3}$）²+（y-$\frac{5}{3}$）²=$\frac{16}{9}$．
可得圆N：（x-$\frac{5}{3}$）²+（y+$\frac{5}{3}$）²=$\frac{16}{9}$，N（$\frac{5}{3}$，-$\frac{5}{3}$），
根据|MN|=$\sqrt{{（-\frac{5}{3}-\frac{5}{3}）}^{2}{+（\frac{5}{3}+\frac{5}{3}）}^{2}}$=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$＞$\frac{8}{3}$，故两圆相离．
（2）设∠PAB=2α，则∠APG=∠BPG=α，∴$\frac{{S}_{△PBG}}{{S}_{△APG}}$=$\frac{\frac{1}{2}•PB•PG•sin∠BPG}{\frac{1}{2}•PA•PG•sin∠APG}$=$\frac{PB}{PA}$．
设点P（x，y），则（x+$\frac{5}{3}$）²+（y-$\frac{5}{3}$）²=$\frac{16}{9}$．
PA²=（x+1）²+（y-$\frac{5}{3}$）² =（x+1）²+$\frac{16}{9}$-（x+$\frac{5}{3}$）²=$\frac{-4}{3}$x；
PB²=（x-1）²+（y-$\frac{5}{3}$）² =（x-1）²+$\frac{16}{9}$-（x+$\frac{5}{3}$）²=-$\frac{16}{3}$x；
∴$\frac{{PB}^{2}}{{PA}^{2}}$=4，∴$\frac{PB}{PA}$=2，即 $\frac{{S}_{△PBG}}{{S}_{△APG}}$=2．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．