某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场,其总面积为3000平方米,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度均为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为S平方米.
(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域);
(2)怎样设计能使S取得最大值,最大值为多少?
(1)y=(6<x<500).S=3030-,6<x<500.
(2)x=50 m,y=60 m时,最大面积是2430 m2.
解析试题分析:(1)解实际问题应用题,关键正确理解题意,列出函数关系式,注意交代定义域. 由已知xy=3000,2a+6=y∴x>6,y>6,故y=,由y>6,解得x<500,∴y=(6<x<500).S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a,根据2a+6=y,得a=-3=-3,∴S=(2x-10)=3030-,6<x<500.(2)由基本不等式求最值,注意等于号取值情况.S=3030-≤3030-2=3030-2×300=2430,当且仅当6x=,即x=50时等号成立,此时y=60.
解:(1)由已知xy=3000,2a+6=y∴x>6,y>6,故y=,
由y>6,解得x<500,∴y=(6<x<500).
S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a,
根据2a+6=y,得a=-3=-3,
∴S=(2x-10)=3030-,6<x<500.
(2)S=3030-≤3030-2=3030-2×300=2430,
当且仅当6x=,即x=50时等号成立,此时y=60.
所以,矩形场地x=50 m,y=60 m时,运动场的面积最大,最大面积是2430 m2.
考点:函数应用题,基本不等式求最值
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知定义域为R的函数f(x)为奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1.
(1)求f(x)在[-1,0)上的解析式;
(2)求f(24)的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,某机场建在一个海湾的半岛上,飞机跑道AB的长为4.5km,且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60o(海岸线可以看作是直线),跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC=4km.D为海湾一侧海岸线CT上的一点,设CD=x(km),点D对跑道AB的视角为q.
(1)将tanq表示为x的函数;
(2)求点D的位置,使q取得最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数
(1)若函数的图象切x轴于点(2,0),求a、b的值;
(2)设函数的图象上任意一点的切线斜率为k,试求的充要条件;
(3)若函数的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于l,求证.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数
(1)求函数的单调区间.
(2)若方程有4个不同的实根,求的范围?
(3)是否存在正数,使得关于的方程有两个不相等的实根?如果存在,求b满足的条件,如果不存在,说明理由.
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