Question

已知点A（x₁，m），B（x₂，m），C（x₂，0），D（x₁，0），其中x₂＞x₁＞0，且

x=x1 y=m

和

x=x2 y=m

为方程yx²-x+y=0的两组不同实数解，若四边形ABCD是矩形，则此矩形绕x轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：利用

x=x1 y=m

和

x=x2 y=m

为方程yx²-x+y=0的两组不同实数解，可得x₁，x₂为方程mx²-x+m=0的两个不同实数解，x₁+x₂=

1

m

，x₁x₂=1，表示出圆柱的体积，利用配方法，即可得出结论．

解答： 解：∵

x=x1 y=m

和

x=x2 y=m

为方程yx²-x+y=0的两组不同实数解，
∴x₁，x₂为方程mx²-x+m=0的两个不同实数解，
∴x₁+x₂=

1

m

，x₁x₂=1，
矩形绕x轴旋转一周得到的圆柱的体积V=πm²|x₁-x₂|=πm²•

1 m2 -4

=π

m2-4m4

=π

-4(m2- 1 8 )2+ 1 16

，
∴m²=

1

8

时，矩形绕x轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为

π

4

．
故答案为：

π

4

．

点评：本题考查旋转体的体积，考查韦达定理的运用，正确表示圆柱的体积是关键．