Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得△BFM与△BFN的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△BFM与△BFN的面积比值为2等价于FM与FN比值为2，分类讨论，设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，消x并整理，利用韦达定理，根据FM与FN比值为2，即可求得直线方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得c=1，a=2c=2------------------（3分）
∴b=

a2-c2

=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1------------------（4分）
（Ⅱ）△BFM与△BFN的面积比值为2等价于FM与FN比值为2------------------（2分）
当直线l斜率不存在时，FM与FN比值为1，不符合题意，舍去；------------------（3分）
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），
直线l的方程代入椭圆方程，消x并整理得（3+4k²）y²+6ky-9k²=0------------------（5分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

6k

3+4k2

 ①，y₁y₂=-

9k2

3+4k2

②------------------（7分）
由FM与FN比值为2得y₁=-y₂③
由①②③解得k=±

5

2

，
因此存在直线l：y=±

5

2

（x-1）使得△BFM与△BFN的面积比值为2------------------（9分）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，△BFM与△BFN的面积比值为2等价于FM与FN比值为2是关键．