Question

19．若椭圆C₁：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（0＜b＜2）的离心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点在椭圆C₁的顶点上．
（1）求抛物线C₂的方程；
（2）设M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）为抛物线C₂上的两个动点，其中y₁≠y₂且y₁+y₂=4，线段MN的垂直平分线l与y轴交于点P，求△MNP面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得a=2，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{4-{b^2}}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得得b²．进而定点抛物线的焦点，可得p．
（2）设线段MN中点A（x₀，y₀），利用中点坐标公式与斜率的计算公式可得：k_MN=$\frac{{x}_{0}}{2}$．可得直线l的方程为$y-2=-\frac{2}{x_0}（{x-{x_0}}）$，直线l过定点B（0，4）．与抛物线方程联立，再利用弦长公式、根与系数的关系可得|MN|，利用点到直线的距离公式可得点B到MN的距离d，利用三角形面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）已知椭圆的长半轴长为a=2，半焦距$c=\sqrt{4-{b^2}}$，由离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{4-{b^2}}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得b²=1．
∴椭圆的上顶点为（0，1），即抛物线的焦点为（0，1），
∴p=2，抛物线的方程为x²=4y．
（2）设线段MN中点A（x₀，y₀），则${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，{y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}，{k_{MN}}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{\frac{x_2^2}{4}-\frac{x_1^2}{4}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{1}{4}（{{x_1}+{x_2}}）=\frac{x_0}{2}$，
∴直线l的方程为$y-2=-\frac{2}{x_0}（{x-{x_0}}）$，即2x+x₀（-4+y）=0，∴l过定点B（0，4）．
联立$\left\{\begin{array}{l}y-2=\frac{x_0}{2}（{x-{x_0}}）\\{x^2}=4y\end{array}\right.⇒{x^2}-2x{x_0}+2x_0^2-8=0$，得$△=4x_0^2-4（{2x_0^2-8}）＞0⇒-2\sqrt{2}＜{x_0}＜2\sqrt{2}$，$|{MN}|=\sqrt{1+\frac{x_0^2}{4}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{（{1+\frac{x_0^2}{4}}）（{32-4x_0^2}）}=\sqrt{（{4+x_0^2}）（{8-x_0^2}）}$，
设B（0，4）到MN的距离$d=|{BQ}|=\sqrt{x_0^2+4}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{MN}|•d=\frac{1}{2}\sqrt{（{4+x_0^2}）（{8-x_0^2}）}•\sqrt{x_0^2+4}$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}（{x_0^2+4}）（{x_0^2+4}）（{16-2x_0^2}）}≤\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}{{（{\frac{24}{3}}）}^3}}=8$，当且仅当$x_0^2+4=16-2x_0^2$，即x₀=±2时取等号．
∴S_△MNP的最大值为8．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式的性质、垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．