Question

3．曲线f（x）=xlnx在点P（1，0）处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，求得f′（1），写出切线方程的点斜式，求得l与坐标轴围成的三角形，数形结合求得三角形的外接圆方程．

解答 解：由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1，
∴f′（1）=1，
则曲线f（x）=xlnx在点P（1，0）处的切线方程为y=x-1．如图，切线l与坐标轴围成的三角形为AOB，
其外接圆的圆心为$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴三角形的外接圆方程是：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，训练了三角形外接圆方程的求法，是基础题．