Question

在平面直角坐标系中，已知点，点在直线：上运动，过点与垂直的直线和线段的垂直平分线相交于点．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过(1)中的轨迹上的定点作两条直线分别与轨迹相交于，两点．试探究：当直线，的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

Answer 1

(1) (2) 当直线，的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率为定值

试题分析：(1)由线段垂直平分线的性质知, ,所以动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.易知其标准方程为.
设、，,可由点差法求出,
,
由直线，的倾斜角互补，得
定值
试题解析：(1)依题意，得                               1分
∴动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线         3分
∴动点的轨迹的方程为                     4分
(2)∵、，在抛物线上
∴                                          5分
由①-②得，
∴直线的斜率为                7分
同理可得，直线的斜率为                9分
∴当直线，的倾斜角互补时，有
即
∴                                     11分
由②-③得，
∴直线的斜率为    ④      13分
将代入④，得
∴当直线，的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率为定值    14分