Question

已知点分别是椭圆的左、右焦点, 点在椭圆上上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）设直线若、均与椭圆相切,试探究在轴上是否存在定点,点到的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）满足题意的定点存在,其坐标为或

试题分析：本题主要考查椭圆的定义和标准方程以及直线与椭圆的位置关系等数学知识，考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，法一：利用焦点坐标求出，由于点在椭圆上，得到方程，又因为三个参量的关系得，联立，解出，从而得到椭圆的方程；法二：利用椭圆的定义，，利用两点间的距离公式计算得出的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线与椭圆联立，由于它们相切，所以方程只有一个根，所以，同理直线与椭圆联立得到表达式，假设存在点，利用点到直线的距离，列出表达式，将代入整理，使得到的表达式，解出的值，从而得到点坐标.
试题解析：(1)法一：由,得,            1分
                             2分
∴椭圆的方程为               4分
法二：由,得,                                   1分
   3分
∴
∴椭圆的方程为                          4分
(2)把的方程代入椭圆方程得           5分
∵直线与椭圆相切,∴,化简得
同理把的方程代入椭圆方程也得:             7分
设在轴上存在点,点到直线的距离之积为1,则
,即,                         9分
把代入并去绝对值整理, 或者         10分
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立 则,解得;
综上所述,满足题意的定点存在,其坐标为或               12分