Question

如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，将△AED沿DE折起到△A′ED的位置．
（1）证明：BD∥平面A′EF；
（2）当平面A′ED⊥平面BCED时，证明：直线A′E与 BD不垂直．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用中位线的性质得到EF∥BD，再由线面平行的判定定理解答；
（2）充分利用等边三角形的性质，假设异面直线A′E与BD互相垂直，得到矛盾即可．

解答： 证明：（1）∵等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，∴D，E，F分别是等边三角形ABC三边AB，AC，BC的中点，∴EF∥BD，
∵EF?平面A′EF，BD?平面A′EF，∴BD∥平面A′EF；
（2）∵△ABC是正三角形，
∴AG⊥DE，即A′G⊥DE，
又∵平面A′DE⊥平面BCED，平面A′DE∩平面BCDE=DE，A′G?平面A′DE，
∴A′G平面BCDE，且BD?平面BCDE
∴A′G⊥BD，假设异面直线A′E与BD互相垂直，即A′E⊥BD，A′G∩A′E=A′，
∴BD⊥平面A′ED，
∴BD⊥ED，
又∵DE是正三角形ABC的中位线，所以DE∥BC，
∴∠ADE=60°，与BD⊥ED矛盾，所以假设错误；
所以异面直线A′E与 BD不垂直．

点评：本题考查了折叠问题中线面平行的判定和面面垂直的性质运用，本题采用了反证法证明异面直线不垂直，属于中档题．