Question

已知x₁和x₂是函数f（x）=x²-ax+a-2=0的两个零点．
（1）若x₁和x₂的值均小于2，求实数a的取值范围；
（2）设m∈R，若不等式|m-5|≤|x₁-x₂|对任意实数a恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由二次函数性质和根与系数的关系，分析得不等式组，求得，（2）恒成立转化为最值问题求解．

解答： 解：（1）函数f（x）=x²-ax+a-2=0为二次函数，图象开口向上，关于x=

a

2

，若x₁和x₂的值均小于2，则有

△＞0 a 2 ＞2 f(2)＞0

⇒a＜2，
（2）由题意，x₁和x₂是x²-ax+a-2=0的两根，由韦达定理得x₁+x₂=a，x₁•x₂=a-2，
所以|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2-4(a-2)

=

a2-4a+8

=

(a-2)2+4

，
当a=2时，|x₁-x₂|_min=2，
若不等式|m-5|≤|x₁-x₂|对任意实数a恒成立，
∴|m-5|≤2，
∴3≤m≤7．

点评：本题考查二次函数的性质和恒成立问题的转化，注意的是韦达定理和数形结合在其中的作用．