Question

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若BC=2BF，且AF=4，则此抛物线的方程为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出直线方程，与抛物线联立消去y得到关于x的一元二次方程，求得x_Ax_B的表达式，根据BC=2BF确定关于p的等式，求得p，则抛物线方程可得．

解答： 解：设直线AC的方程为ky=x-

p

2

（k≠0）
联合抛物线y²=2px
消去y得x²-（1+2k²）px+

p2

4

=0
∴x_Ax_B=

p2

4

①

依据抛物线的特性
|AF|=x_A+

p

2

；|BF|=x_B+

p

2

，
∴|CB|：|BF|=
（x_B+

p

2

）：p=|CB|：|CF|=2：3
∴x_B=

p

6

②
∴①②联立求得x_A=

3p

2

，
∴|AF|=

3p

2

+

p

2

=2p=3，
∴抛物线方程y²=3x．
故答案为：y²=3x．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．解决直线与抛物线的关系问题，一般考虑韦达定理的灵活运用．