Question

关于实数x的方程x+

1

x

=t-2|log2x|在区间[

1

2

，2]上有两个不同的实数根，则t∈

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据对数函数的性质，讨论x的取值将方程进行等价化简，然后将方程转化为函数，利用函数的图象即可得到结论．

解答： 解：当1≤x≤2时，方程等价为x+

1

x

=t-2log2x=t-x，即t=2x+

1

x

，
当

1

2

≤x＜1时，方程等价为x+

1

x

=t-2-log2x=t-2log2

1

x

=t-

1

x

，即t=x+

2

x

，
即t=

2x+ 1 x ，1≤x≤2 x+ 2 x ， 1 2 ＜x＜1

，
设f（x）=

2x+ 1 x ，1≤x≤2 x+ 2 x ， 1 2 ＜x＜1

．
当1≤x≤2时，函数f（x）=2x+

1

x

，则f'（x）=2-

1

x2

=

2x2-1

x2

＞0，此时函数单调递增．∴3≤f(x)≤

9

2

．
当

1

2

≤x＜1时，函数f（x）=x+

2

x

，则f'（x）=1-

2

x2

=

x2-2

x2

＜0，此时函数单调递减．∴3＜f（x）≤

9

2

．
作出函数f（x）对应的图象如图：要使t=f（x）在区间[

1

2

，2]上有两个不同的实数根，
则满足3＜t≤

9

2

，
即t∈（3，

9

2

]，
故答案为：（3，

9

2

]．

点评：本题主要考查对数函数的基本运算，将函数进行等价化简是解决本题的关键，将方程转化为函数，利用数形结合是解决本题的基本思想．