Question

若函数f（x）=x³+ax²+bx+c有极值点x₁，x₂，且f（x₁）=x₁，则关于x的方程3（f（x））²+2af（x）+b=0的不同实根个数是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：求导数f′（x），由题意知x₁，x₂是方程3x²+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））²+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．

解答： 解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c有极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
且x₁，x₂是方程3x²+2ax+b=0的两根，
不妨设x₂＞x₁，
由3（f（x））²+2af（x）+b=0，
则有两个f（x）使等式成立，
x₁=f（x₁），x₂＞x₁=f（x₁），
如图所示：有3个交点，
故答案为：3．

点评：本题主要考查函数零点的概念、函数的极值和函数的导数之间的关系，利用是数形结合是解决本题的关键．