Question

已知函数f（x）lnx-

a

x

，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，由f′（1）=-a-1=1求得a的值；
（2）把（1）中求得的a的值代入函数解析式，求出导函数，得到导函数的零点，判断原函数的单调性，从而求得原函数的极值点并求得极值．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

+

a

x2

…（2分）
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x，
∴f′（1）=a+1=-1，∴a=-2…（4分）
（2）由（Ⅰ）知f（x）=lnx+

2

x

，则f′（x）=

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

令f′（x）=0，解得x=2，又f（x）的定义域为（0，+∞）…（6分）
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，2）内为减函数…（8分）
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0∴f（x）在（2，+∞）内为增函数…（10分）
由此知函数f（x）在x=2处取得极小值f（2）=ln2+1，无极大值．…（11分）

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查了利用导数求函数的极值，是中档题．