Question

已知函数f（x）=1-

a

2x+1

在R上是奇函数．
（1）求a；
（2）对x∈（0，1]，不等式s•f（x）≥2^x-1恒成立，求实数s的取值范围；
（3）令g（x）=

1

f(x)-1

，若关于x的方程g（2x）-mg（x+1）=0有唯一实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（0）=0可求得a的值，然后验证a的取值满足函数为奇函数；
（2）分离参数法，将问题转化为函数的最值问题求解；
（3）可先将方程化简，然后问题转化为一元二次方程在指定区间上根的分布问题，然后再进一步求解．

解答： 解：（1）由题意知f（0）=0．即1-

a

20+1

=0，
所以a=2．此时f（x）=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，
而f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，
所以f（x）为奇函数，故a=2为所求．
（2）由（1）知f(x)=

2x-1

2x+1

，
因为x∈（0，1]，所以2^x-1＞0，2^x+1＞0，
故s•f（x）≥2^x-1恒成立等价于s≥2^x+1恒成立，
因为2^x+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．
故s的取值范围是[3，+∞）．
（3）因为g(x)=

1

f(x)-1

=-

2x+1

2

．
所以g（2x）-mg（x+1）=-

22x+1

2

+m

2x+1+1

2

=0．
整理得2^2x-2m•2^x-m+1=0．
令t=2^x＞0，则问题化为t²-2mt-m+1=0有一个正根或两个相等正根．
令h（t）=t²-2mt-m+1（t＞0），则函数h（t）=t²-2mt-m+1在（0，+∞）上有唯一零点．
所以h（0）≤0或

- -2m 2×1 ＞0 (-2m)2-4×(1-m)=0

，
由h（0）≤0得m≥1，
易知m=1时，h（t）=t²-2t符合题意；
由

- -2m 2×1 ＞0 (-2m)2-4×(1-m)=0

解得

m＞0 m= -1± 5 2

，
所以m=

-1+ 5

2

．
综上m的取值范围是{m|m≥1或m=

-1+ 5

2

}．

点评：本题考查了奇函数的性质，以及不等式恒成立问题的基本思路，后者一般转化为函数的最值问题来解，第三问涉及到了利用函数思想解决方程根的分布问题．