Question

【题目】(本题满分12分)已知函数f(x)＝ex, g(x)＝lnx.

(1)设f(x)在x1处的切线为l1, g(x)在x2处的切线为l2,若l1//l2,求x1＋g(x2)的值;

(2)若方程af 2(x)－f(x)－x＝0有两个实根,求实数a的取值范围；

(3)设h(x)＝f(x)(g(x)－b),若h(x)在[ln2,ln3]内单调递减,求实数b的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)0.

(2) 0<a<1.

(3) b≥ln2＋.

【解析】分析：（1）求导，利用l1//l2时k值相等，即可求出答案；

（2）参变分离，利用导数的应用以及数形结合即可得到答案；

（3）由题意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),求导，因为h(x)在[ln2,ln3]内单调递减，所以在[ln2,ln3]上恒成立，再参变分离，分析讨论即可.

详解：(1) f′(x)＝ex, g′(x)＝

由题意知：＝

故x1＋g(x2)＝x1－ln＝0.

(2) 方程af 2(x)－f(x)－x＝0，ae2x－ex－x＝0，a＝

令φ(x)＝, 则φ′(x)＝－

当x<0时，ex<1,ex－1<0,所以ex＋2x－1<0，所以φ′(x)>0，故φ(x)单调增；

当x>0时，ex>1,ex－1>0,所以ex＋2x－1>0，所以φ′(x)<0，故φ(x)单调减.

从而φ(x)max＝φ(0)＝1

又，当x>0时，φ(x)＝>0

原方程有两个实根等价于直线y＝a与φ(x)的图像有两个交点，故0<a<1.

(3)由题意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),得h′(x)＝ex(lnx＋－b)

因为h(x)在[ln2,ln3]内单调递减，所以h′(x)＝ex(lnx＋－b)≤0在[ln2,ln3]内恒成立

由于ex>0，故只需lnx＋－b≤0在[ln2,ln3]内恒成立

即b≥lnx＋在[ln2,ln3]内恒成立

令t(x)＝lnx＋, t′(x)＝－＝

当ln2≤x<1时，t′(x)<0，故t(x)单调减；

当1≤x≤ln3时，t′(x)>0，故t(x)单调增.

下面只要比较t(ln2)与t(ln3)的大小.

思路：[详细过程略]

先证明：x1+x2>2

又，ln2+ln3=ln6<2

故当x1=ln2时，ln3< x2

即t(ln3)<t(ln2)

所以t(x)max＝t(ln2)＝ln2＋

所以b≥ln2＋.