Question

【题目】已知椭圆，点，

中恰有三点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上的动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率存在，并记为，试问的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据对称性可知椭圆C经过P3，P4两点，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，代入点坐标可求出椭圆方程;

（2）由直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x与圆M相切，运用圆心到直线的距离为半径，即可得到k1，k2为方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的两个不等的实根，运用韦达定理和点M在椭圆上，满足椭圆方程，化简即可得到k1k2＝﹣，设P（x1，y1），Q（x2，y2），表示出△OPQ的面积S＝|x1x2||k1﹣k2|，代值计算即可求出.

解：（1）由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点，

∵，

则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，

∴b＝，，解得a2＝6，b2＝3，

故椭圆C的方程为.

（2）∵直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，与圆M相切，

由直线和圆相切的条件：d＝r，可得，

即有（x02﹣2）k12﹣2x0y0k1+y02﹣2＝0，

同理：直线OQ：y＝k2x与圆M相切，

可得（x02﹣2）k22﹣2x0y0k2+y02﹣2＝0，

即k1，k2为方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的两个不等的实根，

可得k1k2＝，

∵点R（x0，y0）在椭圆C上，

∴，

∴k1k2＝＝，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴|OP|＝|x1|

点Q到直线OP的距离d＝，

∵|x1|＝，|x2|＝，

∴△OPQ的面积S＝|x1x2||k1﹣k2|＝ ，

＝．