Question

探究函数f(x)＝2x＋－3，x∈(0，＋∞)上的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	14	7	5.33	5.11	5.01	5	5.01	5.04	5.08	5.67	7	8.6	12.14	…

(1)观察表中y值随x值变化趋势的特点，请你直接写出函数f(x)＝2x＋－3在区间(0，＋∞)上的单调区间，并指出f(x)的最小值及此时x的值．

(2)用单调性的定义证明函数f(x)＝2x＋－3在区间(0，2]上的单调性；

(3)设函数f(x)＝2x＋－3在区间(0，a]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．

Answer 1

(1)由表中可知f(x)在(0，2]为减函数，[2，＋∞)为增函数，          

并且当x＝2时，f(x)_min＝5．                                        ……5分

(2)证明：设0＜x₁＜x₂≤2，

因为f(x₁)－f(x₂)＝2x₁＋－3－(2x₂＋－3)＝2(x₁－x₂)＋＝，

因为0＜x₁＜x₂≤2，所以x₁－x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，即x₁x₂－4＜0．

所以f(x₁)－f(x₂)＞0，即f(x₁)＞f(x₂)．

所以f(x)在(0，2]为减函数．                                        ……10分

(3)由(2)可证：函数f(x)＝2x＋－3在区间(0，2]上单调递减，在区间[2，＋∞)上单调递增．则

①当0＜a＜2时，(0，a]⊆(0，2]，所以函数f(x)＝2x＋－3在区间(0，a]上单调递减，

故f(x)_min＝f(a)＝2a＋－3；                                        

②当a≥2时，函数f(x)＝2x＋－3在区间(0，2]上单调递减，[2，a]上单调递增，

故f(x)_min＝f(2)＝5；

综上所述，函数f(x)＝2x＋－3在区间(0，a]上的最小值为

g(a)＝                                         ……16分