本试题主要是考出了导数在研究函数中的运用。
(1)因为当
时,
(
),
(
),
由
解得
,由
解得
.得到单调区间。
(2)因函数
图象上的点都在
所表示的平面区域内,则当
时,不等式
恒成立,即
恒成立,设
(
),只需
即可,转化思想的运用。
(3)据(Ⅱ)知当
时,
在
上恒成立(或另证
在区间
上恒成立)结合放缩法得到结论。
(Ⅰ)当
时,
(
),
(
),
由
解得
,由
解得
.
故函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
.········· 4分
(Ⅱ)因函数
图象上的点都在
所表示的平面区域内,则当
时,不等式
恒成立,即
恒成立,设
(
),只需
即可. 5分
由
,
(ⅰ)当
时,
,当
时,
,函数
在
上单调递减,故
成立. 6分
(ⅱ)当
时,由
,因
,所以
,
①若
,即
时,在区间
上,
,则函数
在
上单调递增,
在
上无最大值(或:当
时,
),此时不满足条件;
②若
,即
时,函数
在
上单调递减,在区间
上单调递增,同样
在
上无最大值,不满足条件.·························· 8分
(ⅲ)当
时,由
,∵
,∴
,
∴
,故函数
在
上单调递减,故
成立.
综上所述,实数a的取值范围是
.··················· 10分
(Ⅲ)据(Ⅱ)知当
时,
在
上恒成立(或另证
在区间
上恒成立), 11分
又
,
∵
,
∴
.··········· 14分