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(本小题满分14分) 已知函数
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,函数图象上的点都在所表示的平面区域内,求实数a的取值范围.
(Ⅲ)求证:(其中,e是自然对数的底数).
(Ⅰ)的单调递增区间为,单调递减区间为
(Ⅱ).(Ⅲ)见解析。
本试题主要是考出了导数在研究函数中的运用。
(1)因为当时,),
),
解得,由解得.得到单调区间。
(2)因函数图象上的点都在所表示的平面区域内,则当时,不等式恒成立,即恒成立,设),只需即可,转化思想的运用。
(3)据(Ⅱ)知当时,上恒成立(或另证在区间上恒成立)结合放缩法得到结论。
(Ⅰ)当时,),
),
解得,由解得
故函数的单调递增区间为,单调递减区间为.········· 4分
(Ⅱ)因函数图象上的点都在所表示的平面区域内,则当时,不等式恒成立,即恒成立,设),只需即可.  5分

(ⅰ)当时, ,当时,,函数上单调递减,故成立.   6分
(ⅱ)当时,由,因,所以
①若,即时,在区间上,,则函数上单调递增,上无最大值(或:当时,),此时不满足条件;
②若,即时,函数上单调递减,在区间上单调递增,同样上无最大值,不满足条件.·························· 8分
(ⅲ)当时,由,∵,∴
,故函数上单调递减,故成立.
综上所述,实数a的取值范围是.··················· 10分
(Ⅲ)据(Ⅱ)知当时,上恒成立(或另证在区间上恒成立),    11分






.··········· 14分
练习册系列答案
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(本小题14分)设函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)已知,若函数的图象总在直线的下方,求的取值范围;
(Ⅲ)记为函数的导函数.若,试问:在区间上是否存在)个正数,使得成立?请证明你的结论.

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(2)当时,直接写出(不需给出演算步骤)函数 ()的单调增区间;
(3)如果存在实数,使函数)在
 处取得最小值,试求实数的最大值.

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A.B.
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A.B.
C.D.

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