Question

设函数f（x）=lnx，且x₀，x₁，x₂∈（0，+∞），下列命题：
①若x₁＜x₂，则

1

x2

＞

f(x1)-f(x2)

x1-x2

②存在x₀∈（x₁，x₂），使得

1

x0

=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

③若x₁＞1，x₂＞1，则

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜1
④对任意的x₁，x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

其中正确的是

②③④

．（填写序号）

Answer 1

分析：①利用割线的斜率判断．②利用割线的斜率判断．③利用割线的④利用函数的凸凹性判断．

解答：解：因为

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，表示x₁与x₂两点的斜率，
①不妨设x1=

1

2

，x2=1，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

ln? 1 2 -ln?1

1 2 -1

=2ln?2＞1，若x=1，则

1

x2

=1，此时

1

x2

＞

f(x1)-f(x2)

x1-x2

不成立．
所以①错误．
f′(x)=

1

x

，则f′(x0)=

1

x0

，表示在x=x₀处的切线斜率，由图象可知过x₁与x₂两点的割线和过x₀点的切线可能平行，
所以②正确．
③因为函数的导数为f′(x)=

1

x

，当x＞1时，f′(x)=

1

x

＜1，即此时切线的斜率小于1，所以对应的割线的斜率也小于1，所以

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜1成立，所以③正确．
④满足f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

的函数为凸函数，所以④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查了导数的几何意义以及函数的图象等有关知识，利用数形结合是解决本题的关键．