Question

盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）规定：进行一次操作指：“从盒中随机取出一个球，若取出的是黄球，则把它放回盒中；
若取出的是红球或绿球，则该球不放回，并另外补一个黄球放入盒中”，求：
①在第一次操作取出的是红球或绿球的条件下，第二次操作取出黄球的概率；
②经过第二次操作后，盒中黄球的个数是4个概率；
（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为x₁、x₂、x₃，随机变量X表示x₁、x₂、x₃的最大数，求X的概率分布列和数学期望E（X）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）①设事件A表示“第三者次操作取出的是黄球”，事件

.

A

表示“第一次操作取出的不是黄球”，事件B表示“第二次操作取出的是黄球”，事件

.

B

表示“第二次操作取出的不是黄球”，事件C表示“第二次操作后盒中黄球个数为4”的概率，由此利用条件概率计算公式能求出在第一次操作取出的是红球或绿球的条件下，第二次操作取出黄球的概率．
②由条件概率计算公式，得P（A

.

B

）=

2

9

，P（

.

A

B）=

8

27

，事件C=A

.

B

+

.

A

B，且A

.

B

与

.

A

B是互斥事件，由此能求出经过第二次操作后，盒中黄球的个数是4个概率．
（2）从盒中一次随机取出4个球，分析其中红球、黄球、绿球的个数可能的结果，得到随机变量X的可能取值为4，3，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和数学期望E（X）．

解答： （1）①解：设事件A表示“第三者次操作取出的是黄球”，
事件

.

A

表示“第一次操作取出的不是黄球”，
事件B表示“第二次操作取出的是黄球”，事件

.

B

表示“第二次操作取出的不是黄球”，
事件C表示“第二次操作后盒中黄球个数为4”的概率，
∴在第一次操作取出的是红球或绿球的条件下，第二次操作取出黄球的概率：
P（B/

.

A

）=

4

9

．
②A

.

B

表示事件“第一次操作从盒中取出的是黄球，且第二次操作从盒中取出的不是黄球”，
由条件概率计算公式，得：
P（A

.

B

）=P（A）P（

.

B

/A）=

3

9

×

6

9

=

2

9

．

.

A

B表示事件“第一次操作从盒中取出的不是黄球，且第二次操作从盒中取出的是黄球”，
由条件概率计算公式，得：
P（

.

A

B）=P（

.

A

B）=P（

.

A

）P（B/

.

A

）=

4

9

×

6

9

=

8

27

，
事件C=A

.

B

+

.

A

B，且A

.

B

与

.

A

B是互斥事件，
∴P（C）=P（A

.

B

）+P（

.

A

B）=

2

9

+

8

27

=

14

27

．
（2）解：从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数可能是：

	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦	⑧	⑨
x1（红）	1	1	1	2	2	2	3	3	4
x2（黄）	3	2	1	2	1	0	1	0	0
x3（绿）	0	1	2	0	1	2	0	1	0

∴随机变量X的可能取值为4（⑨），3（①⑦⑧），2（②③④⑤⑥），
P（X=4）=

C 4 4

C 4 9

=

1

126

，
P（X=3）=

C 3 4 C 1 5 + C 3 3 C 1 6

C 4 9

=

13

63

，
P（X=2）=1-P（X=3）-P（X=4）=

11

14

，
∴X的分布列为：

X	2	3	4
P	11 14	13 63	1 126

E（X）=2×

11

14

+3×

13

63

+4×

1

126

=

20

9

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，注意条件概率公式的合理运用．