Question

设椭圆

x2

4

+

y2

a2

=1和双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1有共同的焦点，连接椭圆的焦点和短轴的一个端点所得直线和双曲线的一条渐近线平行，设双曲线的离心率为e，则e²等于（　　）

• A、

  5 +1

  2

• B、

  3 +1

  2

• C、

  3

• D、

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出椭圆焦点（c，0）和短轴的一个端点（0，a），运用直线的斜率公式和双曲线的渐近线方程，结合两直线平行的条件可得a²=bc，再由4-2a²=b²，c²=4-a²，解方程可得a²，c²，再由离心率公式计算即可得到．

解答： 解：由于椭圆

x2

4

+

y2

a2

=1和双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1有共同的焦点（-c，0），（c，0），
则4-a²=a²+b²，
设椭圆的焦点（c，0）和短轴的一个端点（0，a），
即有所得直线的斜率为-

a

c

，
双曲线的一条渐近线方程为y=-

b

a

x，
即有

a

c

=

b

a

，
由a²=bc，4-2a²=b²，c²=4-a²，解得
a²=6-2

5

（由于a²＜4，a²=6+2

5

舍去），
c²=2

5

-2，
e²=

c2

a2

=

2 5 -2

6-2 5

=

5 +1

2

，
故选A．

点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和两直线平行的条件，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．