Question

已知f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤2015π），求则函数f（x）的各极大值之和为（　　）

• A、

  eπ(1-e2014π)

  1-e2π

• B、

  eπ(1-e2016π)

  1-e2π

• C、

  e2π(1-e2014π)

  1-e2π

• D、

  e2π(1-e2016π)

  1-e2π

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：求出函数的函数，利用导函数判断函数的单调区间与极大值点，从而求出极大值；
再利用等比数列的求和公式求出函数f（x）的各极大值之和．

解答： 解：∵函数f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=[e^x（sinx-cosx）]′=e^x（sinx-cosx）+e^x（cosx+sinx）=2e^xsinx；
令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈Z）；
∴当2kπ＜x＜2kπ+π时，f′（x）＞0，原函数单调递增，
当2kπ+π＜x＜2kπ+2π时，f′（x）＜0，原函数单调递减；
∴当x=2kπ+π时，函数f（x）取得极大值，
此时f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e^2kπ+π；
又∵0≤x≤2015π，∴0和2015π都不是极值点，
∴函数f（x）的各极大值之和为：
e^π+e^3π+e^5π+…+e^2011π+e^2013π=

eπ(1-(e2π)1007)

1-e2π

=

eπ(1-e2014π)

1-e2π

．
故选：A．

点评：本题考查了利用函数的导数判断单调区间以及求极大值的问题，也考查了等比数列的求和公式的应用问题，是综合性题目．