Question

定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m是整数），则m叫做距实数x最近的整数，记作（x），即（x）=m，对于函数f（x）=|x-（x）|的五个命题，其中正确的有

 

（写出所有正确命题的序号）．
①函数y=f（x）的值域是[0，+∞）；
②函数y=f（x）是偶函数；
③函数y=f（x）是周期函数且最小正周期是1；
④函数y=f（x）的递增区间是[k，k+

1

2

]，k∈z；
⑤函数y=f（x）-lgx有4个零点．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域判断①的正误；通过函数的奇偶性的定义判断②的正误；通过判断f（x+1）=f（x）是否成立，可以判断③的正误；通过函数的周期性以及函数的图象判断④的正误；利用函数的零点通过数形结合来判断⑤的正误．

解答： 解：①中，函数f（x）=|x-（x）|=|x-m|，令x=m+a，a∈[-

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，

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2

）
∴f（x）=|[x]-x|=|m-（m+a）|=|a|∈[0，

1

2

]，
所以①不正确；
②中，∵m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（m∈Z），
∴-m-

1

2

≤-x＜-m+

1

2

（m∈Z）
∴f（-x）=|-x-（-x）|=|-（-m）-x|=|x-m|，f（x）=|x-（x）|=|x-m|
∴f（-x）=f（x）所以②正确．
③中，∵f（x+1）=|x+1-（x+1）|=|x-（x）|=f（x）
所以周期为1，故③正确；
④中，由题意x-（x）=x-m，f（x）=|x-（x）|=|x-m|，
m=0时，-

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2

＜x≤

1

2

，f（x）=|x|，
m=1时，1-

1

2

＜x≤1+

1

2

，f（x）=|x-1|，
m=2时，2-

1

2

＜x≤2+

1

2

，f（x）=|x-2|，
由函数的周期性以及函数的图象可知，
函数y=f（x）的递增区间是[k，k+

1

2

]，k∈z；
∴④正确．
⑤中，函数y=f（x）-lgx=|x-m|-lgx，令|x-m|-lgx=0，可得：y=|x-m|，y=lgx．当x≥

10

，lgx≥

1

2

，由两个函数的图象可知，两个函数有4个交点，即有4个零点，故⑤正确．
综上所述，②③④⑤正确．
故答案为：②③④⑤．

点评：本题考查的知识点是利用函数的三要素、性质判断命题的真假，要根据定义中给出的函数，结合求定义域、值域的方法，及对称性、周期性和单调性的证明方法，函数的零点的判断方法，对5个结论进行验证．