Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足S_n=2a_n-n²+3n+2（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：数列{a_n+2n}是等比数列；
（Ⅱ）设b_n=a_nsin

2n+1

2

π，求数列{b_n}的前n项和；
（Ⅲ）设C_n=-

1

an+n

，数列{C_n}的前n项和为P_n，求证：P_n＜

5

6

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用递推式可得：a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2n+4，变形为a_n+2n=2[a_n-1+2（n-1）]，即可证明；
（II）由（I）可得a_n=-2×2^n-1-2n=-2ⁿ-2n．可得b_n=a_nsin

2n+1

2

π=-（2ⁿ+2n）•sin

2n+1

2

π，由于sin

2n+1

2

π=sin(nπ+

π

2

)=（-1）ⁿ，于是b_n=（-1）ⁿ⁺¹（2ⁿ+2n）．对n分类讨论即可得出．
（III）C_n=-

1

an+n

=

1

2n+n

，当n≥2时，c_n＜

1

2n

．再利用等比数列的前n项和公式即可证明．

解答： （I）证明：由S_n=2a_n-n²+3n+2（n∈N^*），∴当n≥2时，Sn-1=2an-1-(n-1)2+3(n-1)+2，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2n+4，
变形为a_n+2n=2[a_n-1+2（n-1）]，当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1+3+2，解得a₁=-4，∴a₁+2=-2，∴数列{a_n+2n}是等比数列，首项为-2，公比为2；
（II）解：由（I）可得a_n=-2×2^n-1-2n=-2ⁿ-2n．
∴b_n=a_nsin

2n+1

2

π=-（2ⁿ+2n）•sin

2n+1

2

π，∵sin

2n+1

2

π=sin(nπ+

π

2

)=（-1）ⁿ，
∴b_n=（-1）ⁿ⁺¹（2ⁿ+2n）．
设数列{b_n}的前n项和为T_n．
当n=2k（k∈N^*）时，T_2k=（2-2²+2³-2⁴+…+2^2k-1-2^2k）+2（1-2+3-4+…+2k-1-2k）
=

2[1-(-2)2k]

1-(-2)

-2k=

2(1-2n)

3

-n．
当n=2k-1时，T_2k-1=

2(1-22k)

3

-2k-（-2^2k-4k）=

2(1-2n+1)

3

+n+1+2ⁿ⁺¹=

2+2n+1

3

+n+1．
（III）证明：C_n=-

1

an+n

=

1

2n+n

，当n≥2时，c_n＜

1

2n

．
∴数列{C_n}的前n项和为P_n＜

1

3

+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

1

3

+

1

2

=

5

6

，
当n=1时，c₁=

1

3

＜

5

6

成立．
综上可得：?n∈N^*，Pn＜

5

6

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．