Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{3}，x∈[0，\frac{1}{2}]}\\{\frac{{2x}^{3}}{x+1}，x∈（\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，函数g（x）=ax-$\frac{a}{2}$+3（a＞0），若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂$∈[0，\frac{1}{2}]$，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，4]
• B． （-∞，6]
• C． [-4，+∞）
• D． [6，+∞）

Answer 1

分析 根据一次函数，以及导数研究函数f（x）的单调性，求出函数f（x）与g（x）的值域，根据恒成立关系转化为两个函数的值域问题，进行求解即可．

解答 解：当$\frac{1}{2}$＜x≤1时，f（x）=$\frac{2{x}^{3}}{x+1}$，则f′（x）=$\frac{2{x}^{2}（2x+3）}{（x+1）^{2}}$＞0，此时函数为增函数，
则f（$\frac{1}{2}$）＜f（x）≤f（1），
即$\frac{1}{6}$＜f（x）≤1，
当0≤x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{x}{3}$为增函数，
则0≤f（x）≤$\frac{1}{6}$，
综上所述，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1，
当x₂$∈[0，\frac{1}{2}]$，g（0）≤g（x）≤g（$\frac{1}{2}$），
即3-$\frac{a}{2}$≤g（x）≤3，
若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂$∈[0，\frac{1}{2}]$，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
则[0，1]⊆[3-$\frac{a}{2}$，3]，则3-$\frac{a}{2}$≤0，即$\frac{a}{2}$≥3，
则a≥6，
故实数a的取值范围是[6，+∞），
故选：D．

点评 本题主要考查函数恒成立问题，根据导数研究函数的单调性，求出函数的值域，根据条件建立值域之间的关系是解决本题的关键．综合考查学生是运算和推理能力．