Question

15．2015年9月12日青岛2015世界休闲体育大会隆重开幕．为普及体育知识，某校学生社团组织了14人进行“体育知识竞赛”活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见表：

答对题目个数	0	1	2	3
人数	3	2	5	4

根据表格信息解答以下问题：
（Ⅰ）从14人中任选3人，求3人答对题目个数之和为6的概率；
（Ⅱ）从14人中任选2人，用X表示这2人答对题目个数之和，求随机变量X的分布列和数学期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记“3人答对题目个数之和为6”为事件A，利用排列组合知识能求出3人答对题目个数之和为6的概率．
（Ⅱ）由题意知X的所有取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）记“3人答对题目个数之和为6”为事件A，
则P（A）=$\frac{{C}_{5}^{3}+{C}_{2}^{1}{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{14}^{3}}$=$\frac{17}{91}$，
∴3人答对题目个数之和为6的概率p=$\frac{17}{91}$．
（Ⅱ）由题意知X的所有取值为0，1，2，3，4，5，6，
则P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{3}{91}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{6}{91}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{16}{91}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{22}{91}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{5}^{2}+{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{18}{91}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{20}{91}$，
P（X=6）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{6}{91}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4	5	6
P	$\frac{3}{91}$	$\frac{6}{91}$	$\frac{16}{91}$	$\frac{22}{91}$	$\frac{18}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{6}{91}$

EX=$0×\frac{3}{91}+1×\frac{6}{91}+2×\frac{16}{91}+3×\frac{22}{91}+4×\frac{18}{91}$+$5×\frac{20}{91}+6×\frac{6}{91}$=$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．