Question

10．星城投公司到当地“美丽中国”旅行社统计了100名来到该市旅游的旅客的去处，发现游览科技馆，博物馆、海底世界三个景点的人数依次为40，50，60人，且客人是否游览哪个景点互不影响，如果用频率作为概率，Y表示旅客离开该市时游览的景点数和没有游览的景点数之差的绝对值．
（Ⅰ）求Y的分布列及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f（x）=x²-3Yx+1在区间[2，+∞）上单调递增”为事件A，试求事件A的概率．

Answer 1

分析 （1）分别记“客人游览科技馆”、“客人游览博物馆”、“客人游览海底世界”为事件A₁、A₂、A₃，由已知A₁，A₂，A₃相互独立，由题意Y的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列及数学期望．
（Ⅱ）要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，当且仅不$\frac{3}{2}Y≤2$，即Y$≤\frac{4}{3}$，由此能求出事件A的概率．

解答 解：（1）∵星城投公司到当地“美丽中国”旅行社统计了100名来到该市旅游的旅客的去处，发现游览科技馆，博物馆、海底世界三个景点的人数依次为40，50，60人，
分别记“客人游览科技馆”、“客人游览博物馆”、“客人游览海底世界”为事件A₁、A₂、A₃，由已知A₁，A₂，A₃相互独立，
P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6，
Y表示旅客离开该市时游览的景点数和没有游览的景点数之差的绝对值，
∴Y的可能取值为1，3，
P（Y=3）=P（A₁A₂A₃）+P（$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$）=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P（Y=1）=1-0.24=0.76，
∴Y的分布列为：

Y	1	2
P	0.76	0.24

EY=1×0.76+2×0.24=1.24．
（Ⅱ）∵函数f（x）=x²-3Yx+1=（x-$\frac{3}{2}Y$）²+1-$\frac{9}{4}{Y}^{2}$，
∴f（x）=x²-3Yx+1在区间[$\frac{3}{2}Y，+∞$）上单调递增，
要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，当且仅不$\frac{3}{2}Y≤2$，即Y$≤\frac{4}{3}$，
∴事件A的概率P（A）=P（Y$≤\frac{4}{3}$）=P（Y=1）=0.76．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．