Question

2．我国延迟退休年龄将借鉴国外经验，拟对不同群体采取差别措施，并以“小步慢走”的方式实施．现对某市工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们月收入的频数分布及对“延迟退休年龄”反对的人数如下表．

月收入（元）	[1500，2500）	[2500，3500）	[3500，4500）	[4500，5500）	[5500，6500）	[6500，7500）
频数	5	10	14	11	6	4
反对人数	4	8	11	6	2	1

（Ⅰ）由以上统计数据估算月收入高于5500的调查对象中，持反对态度的概率；
（Ⅱ）若对月收入在[1500，2500），[2500，3500）的被调查对象中各随机选取两人进行跟踪调查，记选中的4人中赞成“延迟退休年龄”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）月收入高于5500的人数有10人，其中持反对态度的人数有3人，由此能估算月收入高于4000的调查对象中，持反对态度的概率．
（2）由已知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）根据题意，由于对某市工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查，随机抽取了50人，
他们月收入的频数分布可知月收入高于5500的人数有6+4=10人，
其中持反对态度的人数有2+1=3人，
∴估算月收入高于4000的调查对象中，持反对态度的概率p=$\frac{3}{10}=0.3$．
（2）根据题意，由于对月收入在[1500，2500），[2500，3500）的被调查对象中各随机选取两人进行跟踪调查，
可知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{28}{75}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{8}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{104}{225}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{8}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{45}$ 
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{225}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{28}{75}$	$\frac{104}{225}$	$\frac{7}{45}$	$\frac{2}{225}$

Eξ=$0×\frac{28}{75}+1×\frac{104}{225}$+$2×\frac{7}{45}$+$3×\frac{2}{225}$=0.8．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．