Question

17．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：
①?x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；
②?k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根；
③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；
④若数列{a_n}为等差数列，且f（a_l）+f（a₂）+f（a₃）=3π，则a₂=π．
其中的正确命题有③④．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①用特殊值的方法即可；
②③根据函数图象判断；
④可用反代的方法判断成立．

解答 解：①当x=$\frac{π}{6}$时，显然f（x）＞2x，故错误；
②根据函的图象易知，方程f（x）=k最多有三个不相等的实数根，故错误；
③根据函数的图象易知函数f（x）的图象存在无数个对称中心，故正确；
④f（a_l）+f（a₂）+f（a₃）=3π，
∴a_l+a₂+a₃=3π，sina_l+sina₂+sina₃=0，解得a₂=π，故正确．
故答案为：③④．

点评 考查了抽象函数的图象和对函数的理解．