Question

5．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于$2\sqrt{2}$的概率为$\frac{{6-2\sqrt{2}}}{7}$．

Answer 1

分析 根据条件作出对应的图象，求出对应的长度，根据几何概型的概率公式进行计算即可．

解答 解：若线段AM的长度不小于$2\sqrt{2}$，则M在线段BE，BF，CG，CD上，
其中AE=AE=$2\sqrt{2}$，
∵AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$，
∴FH=$\sqrt{A{F}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{7}）^{2}}=\sqrt{8-7}$=1，
则FG=2，
三角形的周长l=4+4+6=14，
则BE+BF+CG+CD=14-$2\sqrt{2}$-$2\sqrt{2}$-2=12-4$\sqrt{2}$，
则线段AM的长度不小于$2\sqrt{2}$的概率P=$\frac{12-4\sqrt{2}}{14}$=$\frac{{6-2\sqrt{2}}}{7}$
故答案为：$\frac{{6-2\sqrt{2}}}{7}$

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件作出图象求出满足条件的AM的取值范围是解决本题的关键．