Question

1．已知函数f（x）=|3x+a|-a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为非空子集{x|-1≤x≤2}，求实数a的取值范围；
（2）已知m+n=1（m，n＞0），若$|{x-3}|-f（x）≤\frac{1}{m}+\frac{1}{n}（a＞0）$对于任意实数x恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去掉绝对值，求出a的范围即可；
（2）根据基本不等式的性质求出m、n的值即可，设g（x）=|x-3|-f（x），通过讨论x的范围，得到g（x）的最大值，从而求出Aa的范围即可．

解答 解：（1）|3x+a|-a≤6，-a-6≤3x+a≤a+6，
$-\frac{2}{3}a-2≤x≤2$，
$-1≤-\frac{2a}{3}-2≤2$，
-6≤a≤-$\frac{3}{2}$；
（2）∵$m+n=1（m，n＞0），\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=（m+n）（\frac{1}{m}+\frac{1}{n}）=2+\frac{n}{m}+\frac{m}{n}≥2\sqrt{\frac{n}{m}×\frac{m}{n}}+2=4$，
当且仅当$m=n=\frac{1}{2}$时，取等号；
设g（x）=|x-3|-f（x）=|x-3|-|3x+a|+a=$\left\{{\begin{array}{l}{2x+3+2a，x＜-\frac{a}{3}}\\{-4x+3，-\frac{a}{3}≤x≤3}\\{-2x-3，x＞3}\end{array}}\right.$，
根据图象可知当$x=-\frac{a}{3}$取最大值，$g（-\frac{a}{3}）≤4$，即$-4×（-\frac{a}{3}）+3≤4⇒0＜a≤\frac{3}{4}$，
所以a的取值范围为：0＜a≤$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及函数恒成立问题，是一道中档题．