Question

9．已知对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f（x）=x³-3ax（a∈R）相切．则实数a的取值范围为（　　）

• A． $（-∞，-\frac{1}{3}）$
• B． $（-\frac{1}{3}，+∞）$
• C． $（\frac{1}{3}，+∞）$
• D． $（-∞，\frac{1}{3}）$

Answer 1

分析 直线x+y+m=0得直线斜率k=-1，若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，则等价为f′（x）≠-1，恒成立，解不等式即可得实数a的取值范围．

解答 解：函数的导数f′（x）=3x²-3a≥-3a，
若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，则直线的斜率为-1，
等价为f（x）′=3x²-3a≠-1，
又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率，
则当x=0时取最小值，-3a＞-1，
则a的取值范围为a＜$\frac{1}{3}$，
故实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{3}$），
故选：D

点评 本题主要考查导数的几何意义，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．