Question

18．在区间[0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x³+ax-b在区间[-1，1]上有且只有一个零点的概率是$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数f（x）=x³+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果．

解答 解：由题意知本题是一个几何概型，
∵a∈[0，2]，
∴f'（x）=3x²+a≥0
∴f（x）是增函数，
若f（x）在[-1，1]有且仅有一个零点，
则f（-1）•f（1）≤0
∴（-1-a-b）（1+a-b）≤0，
即（1+a+b）（1+a-b）≥0，
由线性规划内容知全部事件的面积为2×2=4，满足条件的面积4-$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{7}{2}$，
∴P=$\frac{\frac{7}{2}}{4}$=$\frac{7}{8}$，
故答案为：$\frac{7}{8}$．

点评 本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．