Question

9．如图，已知A、B是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴端点，四边形ABCD为矩形，且AD=2b，H、G分别在线段DC、BC上，BH与AG相交于Q，且$\overrightarrow{BG}=λ\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CH}=μ\overrightarrow{CD}$．
（1）若AB=8，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
①求椭圆的方程；
②若$λ=\frac{3}{4}$，且Q点在AB为直径的圆上，求μ的值；
（2）若λ=μ，试判断点Q是否在椭圆上，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①由题意可得a=4，运用菱形公式可得b=c=2$\sqrt{2}$，进而得到椭圆方程；
②Q点在AB为直径的圆上，可得∠AQB=90°，即有tan∠GAB•tan∠BHC=1，运用直角三角形中正切函数的定义，解方程即可得到所求值；
（2）求得G（a，2λb），CH=2aλ，可得H（a-2aλ，2b），又A（-a，0），B（a，0），求得AG和BH的方程，解得Q的坐标，代入椭圆方程，即可判断在椭圆上．

解答 解：（1）①由题意可得2a=8，即a=4，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得b=c=2$\sqrt{2}$，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
②Q点在AB为直径的圆上，可得∠AQB=90°，
即有tan∠GAB•tan∠BHC=1，
即有$\frac{BG}{AB}$•$\frac{BC}{CH}$=1，即$\frac{\frac{3}{4}•4\sqrt{2}}{8}$•$\frac{4\sqrt{2}}{8μ}$=1，
解得μ=$\frac{3}{8}$；
（2）λ=μ，即有G（a，2λb），
CH=2aλ，可得H（a-2aλ，2b），
又A（-a，0），B（a，0），
可得直线AG的方程为y=$\frac{λb}{a}$（x+a），
BH的方程为y=-$\frac{b}{λa}$（x-a），
解方程组可得Q（$\frac{a（1-{λ}^{2}）}{1+{λ}^{2}}$，$\frac{2bλ}{1+{λ}^{2}}$），
代入椭圆方程的左边可得：
$\frac{（1-{λ}^{2}）^{2}}{（1+{λ}^{2}）^{2}}$+$\frac{4{λ}^{2}}{（1+{λ}^{2}）^{2}}$=$\frac{1+2{λ}^{2}+{λ}^{4}}{（1+{λ}^{2}）^{2}}$=1．
即有Q在椭圆上．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查向量共线的坐标表示和共线定理，同时考查直线的交点的求法，以及点与椭圆的位置关系的判断，属于中档题．