Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=6．
（1）求△ABC的面积；
（2）若c+a=8，求b的值．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式求出cosB，再求出sinB，根据向量的数量积和三角形的面积公式即可求出答案；
（2）根据余弦定理即可求出答案．

解答 解；（1）∵sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cosB=1-2sin²$\frac{B}{2}$=1-$\frac{2}{5}$=$\frac{3}{5}$，
∴sinB=$\frac{4}{5}$，
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=6，
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|•cosB=6，
∴|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|•sinB=$\frac{1}{2}×$10×$\frac{4}{5}$=4；
（2）由（1）可知ac=10，
又c+a=8，
又余弦定理可得，b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2ac×$\frac{3}{5}$=64-$\frac{16}{5}$×10=32，
∴b=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了余弦定理三角形的面积公式和向量的数量积的运算，以及三角函数的化简，属于中档题．