Question

9．已知函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-2ax+3）$．
（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数的值域为（-∞，-1]，求实数a的取值范围；
（3）若函数在区间$（\frac{1}{2}，1）$上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质，求出函数g（x）的最小值大0，解不等式即可；
（2）根据复合函数的单调性得到g（x）的最小值是2，求出a的值即可；
（3）结合函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：记g（x）=x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²，
（1）由题意知g（x）＞0对x∈R恒成立，
∴$g{（x）_{min}}=3-{a^2}＞0$
解得$-\sqrt{3}＜a＜\sqrt{3}$
∴实数a的取值范围是$（-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$．-----------（4分）
（2）由函数$y={log_{\frac{1}{2}}}u$是减函数及函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-2ax+3）$的值域为（-∞，-1]
可知   x²-2ax+3≥2．
由（1）知g（x）的值域为[3-a²，+∞），
∴$g{（x）_{min}}=3-{a^2}=2$．
∴a=±1．-----------（8分）
（3）由题意得$\left\{\begin{array}{l}a≥1\\{1^2}-2a×1+3≥0\end{array}\right.$，解得1≤a≤2，
∴实数a的取值范围是[1，2]．-----------（12分）

点评 本题考查了对数函数、二次函数的性质，考查复合函数的单调性问题，是一道中档题．