Question

13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$\frac{a-b+c}{c}$=$\frac{b}{a+b-c}$，则$\frac{b+c}{a}$的取值范围是（1，2]．

Answer 1

分析 由已知整理可得：b²+c²-a²=bc，由余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求A，由三角形内角和定理可求C=$\frac{2π}{3}$-B，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得$\frac{b+c}{a}$=2sin（B+$\frac{π}{6}$），由B∈（0，$\frac{2π}{3}$），利用正弦函数的性质可求sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，即可得解．

解答 解：∵$\frac{a-b+c}{c}$=$\frac{b}{a+b-c}$，可得：（a-b+c）（a+b-c）=bc，
∴整理可得：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$，可得：C=$\frac{2π}{3}$-B，
∴$\frac{b+c}{a}$=$\frac{sinB+sinC}{sinA}$=$\frac{sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}（\frac{1}{2}cosB+\frac{\sqrt{3}}{2}sinB）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），可得：sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴$\frac{b+c}{a}$=2sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（1，2]．
故答案为：（1，2]．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．