Question

数列{a_n}中，已知a₁=2，当n≥2时，a_n=

1

3

a_n-1+

2

3n-1

．数列{b_n}满足b_n=3^n-1a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）证明：{b_n}为等差数列，并求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由n≥2时，a_n=

1

3

a_n-1+

2

3n-1

，两边同乘以3^n-1得，3^n-1a_n=3^n-1a_n-1+2，即b_n-b_n-1=2（n≥2），即得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=

2n

3n-1

，利用错位相减法求数列的和即可．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，b₁=3⁰×a₁=2，
当n≥2时，a_n=

1

3

a_n-1+

2

3n-1

，两边同乘以3^n-1得，
3^n-1a_n=3^n-1a_n-1+2，即b_n-b_n-1=2（n≥2），
∴数列：{b_n}是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴b_n=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=3^n-1a_n=2n，∴a_n=

2n

3n-1

，
∴S_n=2×

1

30

+4×

1

31

+…+2（n-1）

1

3n-2

+2n×

1

3n-1

，①
①×

1

3

得，

1

3

S_n=2×

1

31

+4×

1

32

+…+2（n-1）

1

3n-1

+2n×

1

3n

，②
①-②得

2

3

S_n=2×

1

30

+2×

1

31

+…+2×

1

3n-1

-2n×

1

3n

=2×

1- 1 3n

1- 1 3

-2n×

1

3n

=3-

3+2n

3n

，
∴S_n=

9

2

-

3+2n

2×3n-1

．

点评：本题主要考查等差数列的判断方法及数列求和的方法错位相减法，考查学生的运算能力，属难题．