Question

已知函数f（x）=cos²x-

3

sinxcosx+1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（θ+

π

12

）=

5

6

，θ∈（

π

3

，

2π

3

），求sin（2θ+

π

3

）的值．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角与两角和的余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过余弦函数的单调增区间，直接求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（θ+

π

12

）=

5

6

，可求得sin2θ=

2

3

，由于θ∈（

π

3

，

2π

3

），可得2θ∈（

2π

3

，

4π

3

），从而可求cos2θ=-

1-sin22θ

=-

5

3

． 故可得sin（2θ+

π

3

）的值．

解答： 解：（1）f（x）=cos²x-

3

sinxcosx+1=

1+cos2x

2

-

3

2

sin2x+1=

3

2

+sin（

π

6

-2x）=

3

2

-sin（2x-

π

6

）．
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，可解得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z，
故函数f（x）的单调递增区间为：[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z，
（2）∵f（θ+

π

12

）=

5

6

，∴

3

2

-sin（2θ+

π

6

-

π

6

）=

3

2

-sin2θ=

5

6

，sin2θ=

2

3

．   
∵θ∈（

π

3

，

2π

3

），∴2θ∈（

2π

3

，

4π

3

），
∴cos2θ=-

1-sin22θ

=-

5

3

． 
∴sin（2θ+

π

3

）=sin2θcos

π

3

+cos2θsin

π

3

=

1

2

×

2

3

+（-

5

3

）×

3

2

=

2- 15

6

点评：本题考查二倍角公式与两角和与差的三角函数，函数的单调性函数值的求法，考查计算能力，转化思想．