Question

在1与2之间插入n个正数a₁，a₂，a₃……，a_n，使这n＋2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b₁，b₂，b₃，……，b_n，使这

n＋2个数成等差数列.记A_n=a₁a₂a₃……a_n，B_n=b₁＋b₂＋b₃＋……＋b_n.

（Ⅰ）求数列｛A_n｝和｛B_n｝的通项；

（Ⅱ）当n≥7时，比较A_n与B_n的大小，并证明你的结论.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）设公比为q，公差为d，等比数列1，a1，a2，……，an，2，等差数列1，b1，b2，……，bn，2 则A1=a1=1·q  A2=1·q·1·q2  A3=1·q·1·q2·1·q3 又∵an＋2=1·qn＋1=2得qn＋1=2 An=q·q2…qn=q（n=1，2，3…） 又∵bn＋2=1＋（n＋1）d=2  ∴（n＋1）d=1 B1=b1=1＋d  B2=b2＋b1=1＋d＋1＋2d  Bn=1＋d＋…＋1＋nd=n （Ⅱ）An＞Bn，当n≥7时 证明：当n=7时，23．5=8·=An  Bn=×7，∴An＞Bn 设当n=k时，An＞Bn，则当n=k＋1时，          又∵Ak+1=·       且Ak＞Bk  ∴Ak＋1＞·k ∴Ak＋1－Bk＋1＞ 又 ∵k=8，9，10…  ∴Ak＋1－Bk＋1＞0，综上所述，An＞Bn成立.