Question

我们把离心率e=

5 +1

2

的双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0，c=

a2+b2

）的图象，给出以下几个说法：
①双曲线x²-

2y2

5 +1

=1是黄金双曲线；
②若b²=ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③若F₁，F₂为左右焦点，A₁，A₂为左右顶点，B₁（0，b），B₂（0，-b）且∠F₁B₁A₂=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若MN经过右焦点F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：利用双曲线的简单性质分别求出离心率，再利用黄金双曲线的定义求解．

解答： 解：①双曲线x²-

2y2

5 +1

=1中，
∵e=

1+ 5 +1 2

1

=

5 +1

2

，
∴双曲线x²-

2y2

5 +1

=1是黄金双曲线，故①正确；
②b²=ac，则e=

c

a

=

a2+ac

a

=

1+e

，
∴e²-e-1=0，解得e=

5 +1

2

，或e=

1- 5

2

（舍），
∴该双曲线是黄金双曲线，故②正确；
③如图，F₁，F₂为左右焦点，A₁，A₂为左右顶点，
B₁（0，b），B₂（0，-b），且∠F₁B₁A₂=90°，
∴B1F12+B1A22=A2F12，即b²+2c²=（a+c）²，
整理，得b²=ac，由②知该双曲线是黄金双曲线，故③正确；
④如图，MN经过右焦点F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=90°，
∴NF₂=OF₂，∴

b2

a

=c，∴b²=ac，
由②知该双曲线是黄金双曲线，故④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查黄金双曲线的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．