Question

定义在R上的偶函数，f（x）满足：对任意的x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₁-x₂）[f（x₂）-f（x₁）]＞0，则当n∈N^*时，有（　　）

• A、f（-n）＜f（n-1）＜f（n+1）
• B、f（n-1）＜f（-n）＜f（n+1）
• C、f（n+1）＜f（-n）＜f（n-1）
• D、f（n+1）＜f（n-1）＜f（-n）

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：探究型,函数的性质及应用

分析：由“x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₁-x₂）（f（x₂）-f（x₁））＞0”可得，当“x₂＞x₁时，f（x₁）＞f（x₂）”，符合减函数的定义，所以f（x）在（-∞，0]为减函数，再由f（x）为偶函数，则知f（x）在（0，+∞）为增函数，由n+1＞n＞n-1＞0，可得结论．

解答： 解：x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₁-x₂）（f（x₂）-f（x₁））＞0，
∴x₂＞x₁时，f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0]为减函数；
∵f（x）为偶函数，
∴f（x）在（0，+∞）为增函数，
而n+1＞n＞n-1＞0，
∴f（n+1）＞f（n）＞f（n-1），
∴f（n+1）＞f（-n）＞f（n-1），
故选：B．

点评：本题主要考查单调性定义的变形与应用，还考查了奇偶性在对称区间上的单调性，结论是：偶函数在对称区间上的单调相反，奇函数在对称区间上的单调性相同，属于基本知识的考查．