Question

已知在数列{a_n}中，a_n＞0，S_n是它前n项的和，且4S_n=（a_n+1）²，则数列{a_n}的通项公式a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，从而a_n-a_n-1=2，又4S₁=4a₁=（a₁+1）²，解得a₁=1，由此能求出a_n．

解答： 解：∵在数列{a_n}中，a_n＞0，S_n是它前n项的和，
且4S_n=（a_n+1）²=an2+2an+1，①
∴4S_n-1=an-12+2an-1+1，②
①-②，得：an2-an-12-2（a_n+a_n-1）=0
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∴a_n-a_n-1=2，
又4S₁=4a₁=（a₁+1）²，解得a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
故答案为：2n-1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．