Question

4．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a、b、c，其中A=120°，b=1，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$，则$\frac{a-b}{sinA-sinB}$=（　　）

• A． $\sqrt{21}$
• B． $\frac{2\sqrt{29}}{3}$
• C． 2$\sqrt{21}$
• D． 2$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinA与b的值，以及已知面积代入求出c的长，再由b，c及cosA的值，利用余弦定理求出a的长，由a与sinA的值，利用正弦定理求出三角形外接圆的半径R，利用正弦定理及比例的性质即可求出所求式子的值．

解答 解：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin120°=$\sqrt{3}$，即$\frac{1}{2}$c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴c=4，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccos120°=21，
解得：a=$\sqrt{21}$，
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=2R$，
∴2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{7}$，
则$\frac{a-b}{sinA-sinB}$=2R=2$\sqrt{7}$．
故选：D．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．