Question

6．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N₀e^-λt，其中e=2.71828…为自然对数的底数，N₀，λ是正的常数
（Ⅰ）当N₀=e³，λ=$\frac{1}{2}$，t=4时，求lnN的值
（Ⅱ）把t表示原子数N的函数；并求当N=$\frac{{N}_{0}}{2}$，λ=$\frac{1}{10}$时，t的值（结果保留整数）

Answer 1

分析 （Ⅰ）把N₀=e³，λ=$\frac{1}{2}$，t=4代人公式求出lnN的值；
（Ⅱ）根据公式求出t的解析式，再计算N=$\frac{{N}_{0}}{2}$，λ=$\frac{1}{10}$时t的值．

解答 解：（Ⅰ）当N₀=e³，λ=$\frac{1}{2}$，t=4时，
N=N₀•e^-λt=e³•e^-2=e，
∴lnN=lne=1；
（Ⅱ）∵N=N₀•e^-λt，
∴$\frac{N}{{N}_{0}}$=e^-λt，
∴-λt=ln$\frac{N}{{N}_{0}}$，
∴t=-$\frac{1}{λ}$ln$\frac{N}{{N}_{0}}$（或$\frac{1}{λ}$ln$\frac{{N}_{0}}{N}$），其中0＜N≤N₀；
当N=$\frac{{N}_{0}}{2}$，λ=$\frac{1}{10}$时，
t=-10ln$\frac{1}{2}$=10ln2=10×$\frac{lg2}{lge}$=10×$\frac{0.3010}{0.4344}$≈7．

点评 本题考查了对数函数的运算与性质的应用问题，是基础题目．