Question

6．在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足$2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}={a^2}-{（b-c）^2}$．
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）若a=4，△ABC的面积为$4\sqrt{3}$，求b，c．

Answer 1

分析 （I）由题意可得2bccosA=a²-b²-c²-2bc，再由余弦定理求出cosA，从而确定A的大小；
（II）利用三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$bcsinA得bc=16；再由余弦定理得b²+c²+bc=48，联立求出b、c．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由题意可得2bccosA=a²-b²-c²+2bc，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得4bccosA=2bc，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$…6分
（Ⅱ）∵sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosA=$\frac{1}{2}$，a=4，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=4$\sqrt{3}$，
∴bc=16，
∴a²=b²+c²-2bccosA?b²+c²-16=16，可得：b+c=8，
∴b=c=4…12分

点评 本题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，结合题设条件，利用余弦定理求出角A的大小是解答本题的关键，属于基础题．